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微积分学中“有限”“无限”的思想和方法
时间:2018-05-03      作者:     来源:      浏览次数:

 

微积分学是现代数学的最主要基础之一,也是实际应用最为广泛的数学学科之一。

研究的对象:(实)函数。

基础方法(基本算法):极限。

主要方法(主要算法):求导、积分。

 

微积分学采用了一套极为独特的思想和方法,来研究函数的性质。这就是有限与无限辩证统一的思想和方法。

 

一、思想方法的基础

事物是有限与无限的辩证统一体。这正是微积分学得以成功的的客观基础。     

正方形面积S=44=16, 这个量目前采用的是有现形式。

分成n=7块儿, S=++…+=16,           S改写成7个数之和)

分成n=12块儿,S=++…++…+=16,   S改写成12个数之和)

分成n块儿,   S=++…+=16,           S改写成n个数之和)

n=, , ,…..                        S还是有限个数之和)

考察n+∞的过程,    (S不再是有限个数之和,而是无限多个数之和

这时,S是有限、又是无限——是有限和无限的统一体。

极限,正是有限与无限统一的、最基础的数学概念。

在极限的基础上,建立了连续、导数、积分、级数等更为复杂数学概念。到了这个时候,很难再区分极限是一种思想、还是一种方法?

可以说,极限就是有限无限统一.

 

二、思想方法的意义

很多同学不理解:一个有限的东西,偏要把它搞成无限形式,何苦呢?

抽象地讲:有限领域,有自己特有的规律性;无限领域,也有独特的规律性。

实际地讲:有些问题,在有限领域无法解决,到了无限领域就容易了。

例如:圆的面积问题(半径R

               

把圆等分成n6个扇形,每个扇形用三角形近似:

              =RRsin             (:三角形面积)

              S6=3sin                 (S:圆面积)  

误差率:      ==1-  17.30%  

把圆等分成n60个扇形.

               =RRsin

误差率:       ==1- 0.18%   

把圆等分成n个扇形,考虑n      +∞ 的过程. 

=RRsin

                n=sin

                = [sin]= [n sin]

=[2]=

=  

可见,n有限时,总有=>0. 即用三角形面积和n近似圆面积S,总有误差!

n      +∞ 时,nS. n无限接近S.  这个过程,就是无限领域的规律性发挥了作用。

 

接下来的问题是:怎样计算=?

我们知道:arctan1,是有限形式。

现在,想办法使它变成无限形式!

arctanx= x-+-…+(-1) n+…  (-1x1)  

取x=1得                   =1-+-…++…                (*)

 

(*)的意义之一:把有现形式改变成无限形式了。或者说,(*)揭示一个深刻的规律:“既是有限,又是无限!”

(*)的意义之二:它是一个工具,借助于计算机,求,实现“要多精确,就可以多精确!”

 

                        用Matlab计算的近似值  

n

 [1-+-…+] 4   

10

3.041 8396 1892 9403

1,000

3.140 5926 5383 9794

100,000

3.141 5826 5358 9720

1,000,000

3.141 5916 5358 9774        用时0.068824″.  

10,000,000

3.141 5925 5358 9792        用时0.695967″.

100,000,000

Out of memory.   

 

15位的精确值

 

3.141 5926 5358 979 3    

 

 

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